Tìm cực trị của hàm số

Các dạng bài tập tìm cực trị của hàm số lớp 12

Tiếp theo chủ đề hàm số, bài viết này mình hướng dẫn bạn tìm cực trị của hàm số và hướng dẫn giải các dạng bài tập thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia. Mời bạn theo dõi

1. Lý thuyết tìm cực trị của hàm số

a) Định nghĩa

Cho hàm số $y=f(x)$xác định và liên tục trên khoảng $(a;b)$ (có thể $a$ là $-\infty $; $b$ là $+\infty $) và điểm ${{x}_{0}}\in (a;b)$.

cực trị của hàm số

b) Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Giả sử hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $K=({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h)$và có đạo hàm trên \[K\] hoặc trên $K\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }{{x}_{0}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$, với $h>0$.

tìm cực trị của hàm số

Lưu ý:

  • Nếu hàm số$y=f(x)$ đạt cực đại (cực tiểu) tại ${{x}_{0}}$ thì ${{x}_{0}}$ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; $f({{x}_{0}})$ được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là ${{f}_{\mathsf{C\tilde{N}}}}({{f}_{CT}})$, còn điểm $M({{x}_{0}};f({{x}_{0}}))$ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
  • Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

2. Các dạng bài tập tìm cực trị hàm số

Dạng 1: Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1:

  • Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
  • Bước 2. Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định.
  • Bước 3. Lập bảng biến thiên.
  • Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

  • Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
  • Bước 2. Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) và ký hiệu ${x_i}$ (i = 1, 2, 3, …) là các nghiệm của nó.
  • Bước 3. Tính f”(x) và f”(${x_i}$) .
  • Bước 4. Dựa vào dấu của f”(${x_i}$) suy ra tính chất cực trị của điểm ${x_i}$ .

Dạng 2. Cực trị hàm số bậc 3

Cho hàm số bậc 3 dạng tổng quát $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a \ne 0} \right)$

Ta tiến hành lấy đạo hàm $y’ = 3a{x^2} + 2bx + c$

Khi đó:

tìm m để hàm số có 3 cực trị

Dạng 3. Cực trị hàm trùng phương

Giả sử hàm trùng phương dạng tổng quát $y = a{x^4} + b{x^2} + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ có đồ thị (C)

tìm m để hàm số có cực trị

Các kết quả cần ghi nhớ:

cực trị hàm bậc 3

3. Bài tập trắc nghiệm cực trị của hàm số

Câu 1. Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại $x=2$ và đạt cực tiểu tại $x=0$.

B.Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ và đạt cực đại $x=0$.

C.Hàm số đạt cực đại tại $x=-2$và cực tiểu tại $x=0$.

D.Hàm số đạt cực đại tại $x=0$và cực tiểu tại $x=-2$.

Lời giải

Chọn B

$y’ = 3{x^2} – 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Lập bảng biến thiên ta được hàm số đạt cực đại tại $x=2$ và đạt cực tiểu tại $x=0$

Câu 2. Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có ba điểm cực trị.

B.Hàm số chỉ có đúng 2 điểm cực trị.

C.Hàm số không có cực trị.

D.Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị.

Lời giải

Chọn A

$y’ = 4{x^3} – 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = 1 \hfill \\ x = – 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

nên hàm số có hai cực trị

Câu 3. Cho hàm số $y={{x}^{3}}+17{{x}^{2}}-24x+8$ . Kết luận nào sau đây là đúng?

A. ${{x}_{CD}}=1.$

B.${{x}_{CD}}=\frac{2}{3}.$

C.${{x}_{CD}}=-3.$

D.${{x}_{CD}}=-12.$

Lời giải

Chọn D

$y’ = 3{x^2} + 34x – 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = – 12 \hfill \\ x = \frac{2}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Câu 4. Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ có cực đại mà không có cực tiểu?

A. $y=-10{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+7.$

B.$y=-17{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+x+5.$

C.$y=\frac{x-2}{x+1}.$

D.$y=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x-1}.$

Lời giải

Chọn A

Hàm số $y=-10{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+7$ có $y’=-40{{x}^{3}}-10x=0\Leftrightarrow x=0$ và $y”(0)=-10<0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$

Câu 5. Cho hàm số $y=\sqrt{{{x}^{2}}-2x}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng

A. Hàm số có hai điểm cực trị.

B.Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ .

C.Hàm số đạt cực đại $x=2$.

D.Hàm số không có cực trị.

Lời giải

Chọn D

TXĐ: $D=(-\infty ;0]\cup \text{ }\!\![\!\!\text{ }2;+\infty )$ .

$y’=\frac{x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}=0\Leftrightarrow x=1(l)$ .

$y’$ không đổi dấu trên các khoảng xác định nên hàm số không có cực trị.

Câu 6. Điểm cực tiểu của hàm số $y=-{{x}^{3}}+3x+4$ là:

A.$x=-1.$ B.

$x=1.$ C.

$x=-3.$

D.$x=3.$

Lời giải

Chọn A

TXĐ $D=\mathbb{R}$

$y’ = – 3{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = – 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$y’$ đổi dấu từ $”-”$ sang $”+”$ khi $x$ chạy qua $-1$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$

Câu 7. Đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+5$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 1.

B. 0.

C. 2.

D. 3.

Lời giải

Chọn C

+ Đây là hàm số trùng phương có $ab=-3<0$nên hàm số này có 3 điểm cực trị. Mặt khác, có $a=1>0$nên hàm số có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.

Câu 8. Hàm số $y=a\sin 2x+b\cos 3x-2x$ $(0<x<2\pi )$ đạt cực trị tại $x=\frac{\pi }{2};x=\pi $. Khi đó, giá trị của biểu thức $P=a+3b-3ab$ là:

A. 3.

B. -1.

C. 1.

D. -3.

Lời giải

Chọn C

TXĐ: $D=R$

+ Ta có: $y’=2a\cos 2x-3b\sin 3x-2$.

Hàm số đạt cực trị tại $x=\frac{\pi }{2};x=\pi $ nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{gathered} y'(\frac{\pi }{2}) = – 2a + 3b – 2 = 0 \hfill \\ y'(\pi ) = 2a – 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ b = \frac{4}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Do đó, giá trị của biểu thức $P=a+3b-3ab=1$.

Câu 9. Hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-2$ đạt cực tiểu tại $x=2$ khi?

A. $m>0.$

B. $m\ne 0.$

C. $m=0.$

D. $m<0.$

Lời giải

Chọn C

$\begin{gathered} y’ = 3{x^2} – 6x + m \hfill \\ y” = 6x – 6 \hfill \\ \end{gathered} $

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ khi:

$\left\{ \begin{gathered} y'(2) = {3.2^2} – 6.2 + m = 0 \hfill \\ y”(2) = 6.2 – 6 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 0$

Câu 10. Cho hàm số $y=(m-1){{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-(m+1)x+3{{m}^{2}}-m+2$. Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì:

A. $m=1.$

B. $m\ne 1.$

C. $m>1.$

D. $m$ tùy ý.

Lời giải

Chọn B

+ Hàm số có cực đại, cực tiểu khi $\left\{ \begin{gathered} {b^2} – 3ac > 0 \hfill \\ a \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 9 + 3(m – 1)(m + 1) > 0 \hfill \\ m – 1 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m \ne 1$

Trên đây là toàn bộ hướng dẫn bạn tìm cực trị của hàm số. Hy vọng rằng, những chia sẻ trên đây đã giúp ích được cho bạn trong học tập. Chúc bạn học tốt.