giải phương trình số phức

Các dạng bài tập giải phương trình bậc 2 số phức

Giải phương trình 2 số phức là là một chủ để hay thuộc chương số phức lớp 12. Trong bài viết này mình sẽ chia sẻ với bạn không chỉ lý thuyết mà còn 6 dạng bài tập thường gặp. Đi kèm phương pháp luôn có ví dụ kèm lời giải chi tiết. Phần cuối có bài tập rèn luyện kĩ năng với hy vọng bạn luyện tốt chủ đề này. Ta bắt đầu

1. Lý thuyết phương trình bậc 2 số phức

a) Căn bậc hai của số phức

Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn ${{z}^{2}}=w$ được gọi là một căn bậc hai của w

b) Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\left( a,\,b,\,c\in \mathbb{R};\,a\ne 0 \right)$. Xét $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$, ta có

  • ∆ = 0 phương trình có nghiệm thực $x=-\frac{b}{2a}$.
  • ∆ > 0: phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: ${{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$.
  • ∆ < 0: phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:${{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm i\sqrt{|\Delta |}}{2a}$.

Chú ý.

  • Mọi phương trình bậc n: ${{A}_{o}}{{z}^{n}}+{{A}_{1}}{{z}^{n-1}}+…+{{A}_{n-1}}z+{{A}_{n}}=0$ luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).
  • Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\left( a\ne 0 \right)$ có hai nghiệm phân biệt (thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét $\left\{ \begin{gathered} S = {x_1} + {x_2} = – \frac{b}{a} \hfill \\ P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

2. Các dạng bài tập giải phương trình số phức

Dạng 1. Phương trình bậc hai với hệ số phức

giải phương trình số phức

Ví dụ: Biết ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm số phức của phương trình ${{z}^{2}}-2z+4=0.$ Tính |z1| + |z2|.

Lời giải

Ta có $\Delta ={{b}^{2}}-4ac=-12$

Căn bậc hai của ∆ là $\pm i\sqrt{12}$

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${{z}_{1}}=\frac{2+i\sqrt{12}}{2}$ và ${{z}_{1}}=\frac{2-i\sqrt{12}}{2}$

Dạng 2: Tìm các thuộc tính của số phức thỏa mãn điều kiện K

Giải phương trình bậc 2 số phức

Ví dụ: Tìm các số thực x, y thỏa mãn điều kiện

a) (2 − i)x + (2 + y)i = 2 + 2i

b) $\frac{{x – 2}}{{1 + i}} + \frac{{y – 3}}{{1 – i}} = i$

Lời giải

giải phương trình trên tập số phức

Dạng 3. Tính giá trị của biểu thức

Phương pháp giải

Chuẩn hóa số phức, dựa vào điều kiện đã cho để tìm số phức z

Ví dụ: Cho số phức ${{z}_{1}}\ne 0,$ ${{z}_{2}}\ne 0$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|.$ Tính giá trị của biểu thức $P={{\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}^{4}}+{{\left( \frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}} \right)}^{4}}$

Lời giải

Chuẩn hóa ${{z}_{1}}=1,$ đặt ${{z}_{2}}=a+bi,\left( a,b\in R \right),$ khi đó $\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

phương trình số phức

Dạng 4. Bài toán sử dụng bất đẳng thức trong số phức

Phương pháp giải

cách giải phương trình số phức

Các bất đẳng thức cổ điển

giải phương trình số phức bậc 2

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn |z – 3 + 4i| = 4. Tìm giá trị lớn nhất của P = |z|

Lời giải

phương trình bậc 2 số phức

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |iz + 4 – 3i| = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|

Lời giải

giải phương trình số phức bậc cao

Dạng 5. Sử dụng bình phương vô hướng

Phương pháp giải

Ví dụ . Cho hai số phức z1, x2 thỏa mãn |z1 + 2z2| = 5 và |3z1 – z2| = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |z1| + |z2|

Lời giải

Dạng 6. Sử dụng hình chiếu và tương giao

Phương pháp giải

Ví dụ: Cho các số phức z = x + iy, (x, y ∈ R) thỏa mãn |z + 2 – 2i | = |z – 4i| Tìm giá trị nhỏ nhất của |iz + 1|.

Lời giải

3. Bài tập phương trình số phức

Câu 1. Trong $\mathbb{C}$, phương trình $2{{x}^{2}}+x+1=0$ có nghiệm là:

A. ${{x}_{1}}=\frac{1}{4}\left( -1-\sqrt{7}i \right);{{x}_{2}}=\frac{1}{4}\left( -1+\sqrt{7}i \right)$

B. ${{x}_{1}}=\frac{1}{4}\left( 1+\sqrt{7}i \right);{{x}_{2}}=\frac{1}{4}\left( 1-\sqrt{7}i \right)$

C. ${{x}_{1}}=\frac{1}{4}\left( -1+\sqrt{7}i \right);{{x}_{2}}=\frac{1}{4}\left( 1-\sqrt{7}i \right)$

D. ${{x}_{1}}=\frac{1}{4}\left( 1+\sqrt{7}i \right);{{x}_{2}}=\frac{1}{4}\left( -1-\sqrt{7}i \right)$

Lời giải

Ta có: $\Delta ={{b}^{2}}-4ac={{1}^{2}}-4.2.1=-7=7{{i}^{2}}<0$ nên phương trình có hai nghiệm phức là:

${{x}_{1,2}}==\frac{-1\pm i\sqrt{7}}{4}$

Câu 2. Trong $\mathbb{C}$, phương trình $\left| z \right|+z=2+4i$ có nghiệm là:

A. $z=-3+4i$

B. $z=-2+4i$

C. $z=-4+4i$

D. $z=-5+4i$

Lời giải

Đặt $z=a+bi\,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$.

Thay vào phương trình: $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+a+bi=2+4i$

Suy ra $\left\{ \begin{gathered} \sqrt {{a^2} + {b^2}} + a = 2 \hfill \\ b = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = – 3 \hfill \\ b = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Ta chọn đáp án A.

Câu 3. Hai giá trị ${{x}_{1}}=a+bi\,;\,{{x}_{2}}=a-bi$ là hai nghiệm của phương trình:

A. ${{x}^{2}}+2ax+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=0$

B. ${{x}^{2}}+2ax+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0$

C. ${{x}^{2}}-2ax+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=0$

D. ${{x}^{2}}-2ax+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0$

Lời giải

Áp dụng định lý đảo Viet : $\left\{ \begin{gathered} S = {x_1} + {x_2} = 2a \hfill \\ P = {x_1}.{x_2} = {a^2} + {b^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Do đó ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình: ${{x}^{2}}-Sx+P=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2ax+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=0$

Ta chọn đáp án A.

Câu 4. Trong $\mathbb{C}$, nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+\sqrt{5}=0$ là:

A. $\left[ \begin{gathered} z = \sqrt 5 \hfill \\ z = – \sqrt 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

B. $\left[ \begin{gathered} z = \sqrt[4]{5}i \hfill \\ z = – \sqrt[4]{5}i \hfill \\ \end{gathered} \right.$

C. $\sqrt{5}i$

D. $-\sqrt{5}i$

Lời giải

${{z}^{2}}+\sqrt{5}=0\Leftrightarrow {{z}^{2}}=-\sqrt{5}\Leftrightarrow z=\pm i\sqrt[4]{5}$

Ta chọn đáp án A.

Câu 5. Trong $\mathbb{C}$, phương trình ${{z}^{4}}-6{{z}^{2}}+25=0$ có nghiệm là:

A. $\pm 8 & \,;\,\pm 5i$

B. $\pm 3\,;\,\pm 4i$

C. $\pm 5 & \,;\,\pm 2i$

D. $\pm \left( 2+i \right) & \,;\,\pm \left( 2-i \right)$

Lời giải

$\begin{gathered} {z^4} – 6{z^2} + 25 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {{z^2} – 3} \right)^2} + 16 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {z^2} – 3 = \pm 4i \hfill \\ \Leftrightarrow {z^2} = 3 \pm 4i \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} z = \pm \left( {2 + i} \right) \hfill \\ z = \pm \left( {2 – i} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} $

Ta chọn đáp án A.

Câu 6. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn điều kiện ${{z}^{2}}=|z{{|}^{2}}+\overline{z}$?

A. 3

B. 0

C. 1

D. 2

Lời giải

Gọi $z=a+bi\,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ là số phức thỏa mãn điều kiện trên. Ta có:

$\begin{gathered} {z^2} = |z{|^2} + \overline z \Leftrightarrow {\left( {a + bi} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + a – bi \hfill \\ \Leftrightarrow a + 2{b^2} – bi – 2abi = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {a + 2{b^2}} \right) + \left( { – b – 2ab} \right)i = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a + 2{b^2} = 0 \hfill \\ b + 2ab = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a + 2{b^2} = 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} b = 0 \hfill \\ a = – \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a = b = 0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} a = – \frac{1}{2} \hfill \\ b = \pm \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} $

Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta chọn đáp án A.

Câu 7. Phương trình $\left( 2+i \right){{z}^{2}}+az+b=0\,\left( a,b\in \mathbb{C} \right)$ có hai nghiệm là $3+i$ và $1-2i$. Khi đó $a=?$

A. -9-2i

B. 15+5i

C. 9+2i

D. 15-5i

Lời giải

Theo Viet, ta có:

$S={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-\frac{a}{2+i}=4-i\Leftrightarrow a=\left( i-4 \right)\left( i+2 \right)\Leftrightarrow a=-9-2i$

Ta chọn đáp án A.

Câu 8. Giả sử ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}-2z+5=0$ và A, B là các điểm biểu diễn của ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

A. $I\left( 1;1 \right)$

B. $I\left( -1;0 \right)$

C. $I\left( 0;1 \right)$

D. $I\left( 1;0 \right)$

Lời giải

${{z}^{2}}-2z+5=0\Leftrightarrow {{\left( z-1 \right)}^{2}}+4=0\Leftrightarrow z=1\pm 2i$

$\Rightarrow A\left( 1;2 \right);\,B\left( 1;-2 \right)$

Do đó tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là $I\left( 1;0 \right)$.

Ta chọn đáp án A.

Câu 9. Phương trình ${{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-24x+72=0$ trên tập số phức có các nghiệm là:

A. $2\pm i\sqrt{2}$hoặc $-2\pm 2i\sqrt{2}$

B. $2\pm i\sqrt{2}$hoặc $1\pm 2i\sqrt{2}$

C. $1\pm 2i\sqrt{2}$ hoặc $-2\pm 2i\sqrt{2}$

D. $-1\pm 2i\sqrt{2}$ hoặc $-2\pm 2i\sqrt{2}$

Lời giải

$\begin{gathered} {x^4} + 2{x^2} – 24x + 72 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 4x + 6} \right)\left( {{x^2} + 4x + 12} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x^2} – 4x + 6 = 0 \hfill \\ {x^2} + 4x + 12 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {\left( {x – 2} \right)^2} + 2 = 0 \hfill \\ {\left( {x + 2} \right)^2} + 8 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \pm \sqrt 2 i \hfill \\ x = – 2 \pm 2\sqrt 2 i \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} $

Ta chọn đáp án A.

Câu 10. Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là các nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}+\sqrt{3}z+7=0$. Khi đó $A=z_{1}^{4}+z_{2}^{4}$ có giá trị là:

A. 23

B. $\sqrt{23}$

C. 13

D. $\sqrt{13}$

Lời giải

Theo Viet, ta có: $\left\{ \begin{gathered} S = {z_1} + {z_2} = – \frac{b}{a} = – \sqrt 3 \hfill \\ P = {z_1}.{z_2} = \frac{c}{a} = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\begin{gathered} A = z_1^4 + z_2^4 \hfill \\ = {\left( {{S^2} – 2P} \right)^2} – 2{P^2} \hfill \\ = {\left( {3 – 2.7} \right)^2} – 2.49 \hfill \\ = 23 \hfill \\ \end{gathered} $

Ta chọn đáp án A.